Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Rappel : Rappel de première
La variable aléatoire qui à tout échantillon de taille n associe le nombre d'individus qui possèdent le caractère étudié suit une loi binomiale \(\mathcal B(n ;p)\).
Définition : Variable aléatoire fréquence
La variable aléatoire F qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence f du caractère étudié dans cet échantillon est appelée variable aléatoire fréquence et elle est définie par :
\(F =\dfrac{X}{n}\)
Définition : Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
On suppose que la taille n de l'échantillon et la proportion p du caractère étudié vérifient les conditions de validité suivantes :
\(n\geqslant 30\)
\(n~ p\geqslant 5\)
\(n~(1-p)\geqslant 5\)
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence F est défini par :
\(I=\left[ p-1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{ n} }; p+1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{ n} }\right]\)
Remarque :
Le nombre 1,96 provient de l'approximation de F par une loi normale \(\mathcal N(0 ;1)\) et conditionne donc le seuil de 95%. Le changement de ce seuil n'est pas au programme, le 1,96 ne variera donc pas dans cette formule.
Exemple :
On considère un échantillon de taille 100 avec une probabilité du caractère de 0,3.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :
\(I=\left[ 0,3-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt {100}} ; 0,3+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt {100}}\right]\)
ce qui donne \(I\approx [0,2101 ;0,3898]\)
Les conditions de validité de la formule sont remplies car \(n>30\), \(100\times 0,3>5\) et \(100\times 0,7>5\).