Prise de décision
En 2011, le taux de réussite d'un concours national d'enseignement dans une matière littéraire est 53,7%.
On étudie les résultats de deux centres de formations :
Dans le centre A, 48 candidats sur les 100 inscrits sont admis, soit 48% de réussite.
Dans le centre B, 252 candidats sur les 515 inscrits sont admis, soit 48,9% de réussite.
Question
Les candidats recalés de ces deux centres, déçus de leur résultats, s'interrogent sur qualité de la formation, arguant du fait que les résultats sont inférieurs à la moyenne nationale.
Ont-ils des raisons de soupçonner que les résultats de leur centre de formation dénotent par rapport à la moyenne nationale ?
Indice
On déterminera les intervalles de fluctuation asymptotiques pour chacun des centres.
Indice
On vérifie que les conditions de validité de la formules sont remplies :
\(n\geqslant 30\)
\(n\times p\geqslant 5\)
\(n\times (1-p)\geqslant 5\)
Solution
Pour le centre A
n=100 et p=0,537. Les conditions sont satisfaites.
\(I=\left[ 0,537-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,48\times 0,52}}{\sqrt 100} ;0,537+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,48\times 0,52}}{\sqrt 100} \right]\)
Ce qui donne après calculs \(I=[0,439;0,635]\)
Le taux de réussite du centre A (0,48)se situe dans l'intervalle I. On peut donc affirmer, au risque de se tromper de 5%, qu'il n'y a rien d'anormal quand aux résultats de ce centre, au regard de la moyenne nationale.
Pour le centre B
n=515 et p=0,537. Les conditions sont satisfaites.
\(I=\left[ 0,537-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,48\times 0,52}}{\sqrt 515} ;0,537+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,48\times 0,52}}{\sqrt 515} \right]\)
Ce qui donne après calculs \(I=[0,494;0,580]\)
Le taux de réussite du centre B (0,489) se situe en dessous de l'intervalle I. On peut donc affirmer, au risque de se tromper de 5%, que les résultats de ce centre ont été moins bons que la moyenne nationale.