Dérivée de la fonction exponentielle
Si a désigne un nombre réel, le nombre dérivé en a de la fonction exponentielle est la limite quand h tend vers 0 du taux d'accroissement \(T_h(a)=\dfrac{e^{a+h}-e^a}{h}\).
Par exemple, le nombre dérivé de la fonction exp en 0 est égal à la limite quand h tend vers 0 de \(T_h(0)=\dfrac{e^{0+h}-e^0}{h}=\dfrac{e^{h}-1}{h}\)
Or, par définition, la fonction exp est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 est 1. Donc la limite quand h tend vers 0 de \(\dfrac{e^h-1}{h}\) vaut \(exp'(0)=1\)
De plus, \(T_h(a)=\dfrac{e^a\times e^h-e^a}{h}=\dfrac{e^a(e^h-1)}{h}=e^a \dfrac{e^h-1}{h}\)
Donc \(T_h(a)\) tend vers \(e^a\) quand h tend vers 0, donc \(exp'(a)=e^a\).
Fondamental : Dérivée de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Ainsi \(exp'(x)=e^x\) qu'on note aussi :
\((e^x)'=e^x\) mais attention à la signification de cette notation !
Complément :
On peut à présent démontrer que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). En effet, sa fonction dérivée (exp) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).