Cas plus général
Considérons une suite \((u_n)\) de raison q≠1 et calculons la somme des termes de la suite entre deux rangs n et m avec \(n<m\).
Sachant que \(u_n\) peut s'écrire \(u_0\times q^n\) pour toute valeur de n, on peut dire que :
\(u_n+u_{n+1}+ ... +u_m=u_0\times q^n+u_0 \times q^{n+1}+... +u_0 \times q^m\)
On peut alors mettre \(u_0 \times q^n\) en facteur dans l'expression :
\(u_n+u_{n+1}+ ... +u_m=u_0\times q^n(1+q+ ... +q^{m-n})\)
Or le contenu de la parenthèse nous est connu et peut se calculer au moyen de la formule du paragraphe précédent et donc :
\(u_n+u_{n+1}+ ... +u_m=u_0\times q^n\left(\dfrac{1-q^{m-n+1}}{1-q}\right)\)
En remarquant que \(u_0 \times q^n\) n'est autre que \(u_n\), on en déduit la propriété suivante qui généralise la précédente :
Fondamental :
Soit une suite \((u_n)\) de raison q≠1 et deux entiers n et m tels que \(n<m\).
Alors \(u_n+u_{n+1}+ ... +u_m=u_n\dfrac{1-q^{m-n+1}}{1-q}\)
Cette formule se retient mieux sous cette forme :
\(u_n+u_{n+1}+ ... +u_m=(premier\ terme \ de\ la\ somme)\times \dfrac{1-raison\ ^{nombre\ de\ termes\ de\ la\ somme}}{1-raison}\)