Formule explicite
Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\).
\(u_n=q\times u_{n-1}=q^2\times u_{n-2}=...=q^p\times u_{n-p}=...=q^n\times u_{n-n}=q^n\times u_0\)
Fondamental : Formule explicite d'une suite géométrique
Si une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\), alors on a :
\(u_n=q^n\times u_0\) et \(u_n=q^{n-m}\times u_m\)
Exemple :
La suite géométrique de premier terme \(4\) et de raison \(-2\) peut s'écrire :
\(u_n=4\times (-2)^n\)
Remarque : Réciproquement
Si une suite s'exprime sous la forme explicite \(u_n=A\times B^n\), alors cette suite est géométrique de raison \(B\).
Exemple : Déterminer une suite géométrique à partir d'un de ses termes
Exercice :
Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que \(u_7=3\) et \(q=-2\).
Calculer \(u_{20}\) :
On a \(u_{20}=u_7\times(-2)^{(20-7)}=3\times(-2)^{13}\).
Exemple : Déterminer une suite géométrique à partir de deux de ses termes
Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que \(u_2=2\)et \(u_{5}=3,456\).
Déterminer \(q\) et \(u_0\) :
On a : \(u_{5}=u_2\times q^3\), donc \(q^3=\dfrac {u_{5}}{u_2}=\frac{3,456}{2}=1,728\).
En remarquant que \(1,2^3=1,728\) (on apprendra dans un chapitre ultérieur comment trouver le 1,2), on en déduit que \(q=1,2=\dfrac{6}{5}\).
De plus, \(u_2=u_0\times q^2\) donc \(2=u_0 \times 1,2^2\) et donc \(u_0=\frac{2}{1,2^2}=\dfrac{2}{1,44}=\dfrac{25}{18}\) donc on peut écrire \(u_n=\dfrac{25}{18}\times \left(\dfrac{6}{5}\right)^n\).