Méthode générale
Définition : Égalité faisant intervenir un nombre inconnu
Une égalité faisant intervenir un nombre inconnu \(x\) est vraie si et seulement si quel que soit le nombre réel que l'on met à la place de \(x\), l'égalité est vraie.
Exemple :
\((x+1)²=x²+2 x+1\). Cette égalité est vraie pour toute valeur de \(x\) car elle découle de l'égalité remarquable vue précédemment.
Attention :
Il ne suffit pas de tester une égalité sur quelques valeurs de \(x\) pour en déduire l'égalité pour tout nombre \(x\) !
Exemple :
On considère l'égalité \(x^3+11x=6(x²+1)\).
Pour \(x=1\), on remplace dans l'égalité la valeur de x et on obtient \(1+11=6\times(1+1)\) donc \( 12=12\). L'égalité est vraie.
Pour \(x=2\), on remplace dans l'égalité la valeur de x et on obtient \(8+22=6\times(4+1)\) donc \(30=30\). L'égalité est vraie.
Pour \(x=3\), on remplace dans l'égalité la valeur de x et on obtient \(27+33=6\times(9+1)\) donc \(60=60\). L'égalité est vraie.
MAIS pour \(x=0\), on constate que l'égalité \(0=6\) devient fausse ! ! L'égalité n'est donc pas vraie pour toute valeur de \(x\). Elle est donc fausse, même si 3 valeurs particulières la vérifient. Il faut donc être très prudent lorsque l'on doit démontrer une égalité dans le cas général.
Méthode : Méthode 1
Pour démontrer une égalité, on peut choisir un membre de l'égalité et le transformer à l'aide des règles d'algèbres (développement, factorisation, distributivité...) jusqu'à obtenir le second membre.
Méthode : Méthode 2
On peut également transformer chacun des membres de l'égalité jusqu'à obtenir le même résultat de part et d'autre de l'égalité.