Notion d'équation de droite
Lors du chapitre sur les fonctions affines, nous avons vu que les points de coordonnées \((x ; ax+b)\), lorsque x varie, étaient alignés sur une droite. Nous allons approfondir cette notion en étudiant dans le cas général les équations de droites.
Fondamental :
Dans un repère, si a et b sont deux réels, alors l'ensemble des points \(M(x;y)\) dont les coordonnées vérifient \(y=ax+b\) forment une droite.
Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine \(f : x\longmapsto ax+b\).
Définition :
On dit alors que cette droite est la droite d'équation \(y=ax+b\).
Par analogie avec ce qui a été vu dans le chapitre sur les fonctions affines, a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.
Fondamental : Réciproquement
Toute droite du plan qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation du type \(y = ax + b\).
Les droites parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation du type \(x = c\).
Complément : Démonstration
Si une droite est parallèle à l'axe des ordonnées, alors tous les points de cette droite ont même abscisse que l'on peut noter c. Dire que l'abscisse d'un point est c peut se caractériser par l'équation \(x=c\).
Si une droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, alors elle coupe celui-ci en un point M de coordonnées (0;b). Elle coupe également la droite (parallèle à l'axe des ordonnées) d'équation x=1 en un point de coordonnées N(1;d).
Considérons la droite d'équation \((E) : y=(d-b)x+b\).
Elle passe par le point M car ses coordonnées vérifient l'équation \((E) : b=(d-b)\times 0+b\)
Elle passe par le point N car ses coordonnées vérifient l'équation \((E) : d=(d-b)\times 1+b\)
Donc l'équation (E) représente notre droite et est du type y=ax+b en posant a=d-b.