Exemple de taux d'accroissement
On considère la fonction \(f : x\longmapsto x^2\).
Question
Calculer le taux d'accroissement de \(f\) entre \(2\) et \(2+h\).
Solution
\(T_2(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}=\dfrac{4+4h+h^2-4}{h}=\dfrac{4h+h^2}{h}\)
Si h≠0, on peut simplifier par h et obtenir : \(T_2(h)=4+h\)
On considère le point \(A(2 ; 4)\) et \(M(2+h ; (2+h)^2)\). On va se placer dans la situation de l'activité d'approche.
Question
Lorsque le point M se rapproche du point A, vers quelle valeur se rapproche le taux d'accroissement \(T_2(h)\)?
En déduire la pente de la tangente de la courbe \(C_f\) au point d'abscisse 2.
Solution
Lorsque h devient très petit et se rapproche de 0 (sans toutefois l'atteindre...), alors \(T_2(h)=4+h\) se rapproche de 4.
Définition :
On dit dans ce cas que \(T_2(h)\) tend vers 4 lorsque h tend vers 0. On note parfois \(\lim\limits_{h\to0} T_2(h)=4\).
Complément :
Dans l'activité d'approche, on a pu constater que la sécante (AM) se rapprochait de la tangente en A lorsque le point M se rapprochait du point A. On peut donc en déduire que la pente de la tangente au point d'abscisse 2 de la fonction f est 4.