Produit scalaire dans l'espace

Dans un tétraèdre

On considère ABCD un tétraèdre régulier d'arête .

Question

Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. On pourra par exemple considérer et .

Indice

On pourra remarquer que .

Solution

Or

Donc ce qui montre que les vecteurs et sont orthogonaux et donc que les arêtes opposées sont bien orthogonales.

Dans le même esprit

On considère ABCDEFGH un cube d'arête .

Question

Les vecteurs et sont-ils orthogonaux ?

Solution

Or car est orthogonale au plan

car les diagonales du carré sont perpendiculaires.

donc . Les vecteurs sont donc orthogonaux.

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