Propriétés des lois à densité sur un intervalle
Fondamental :
Soit X une variable aléatoire continue sur \([a ;b]\)et \(\alpha,\beta\in [a ;b]\). Alors :
\(\mathbb P(X>\alpha)=1-\mathbb P(X\leqslant\alpha)\)
\(\mathbb P(X=\alpha)=0\)
\(\mathbb P(\alpha < X < \beta)=\mathbb P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta)\)
Complément : Démonstration
\(1-\mathbb P(X\leqslant\alpha)=\displaystyle \int_a^b f(x)~dx-\displaystyle \int_a^\alpha f(x)~dx=\int_\alpha^a f(x)~dx + \int_a^b f(x)~dx=\int_\alpha^b f(x)~dx\)
donc \(1-\mathbb P(X\leqslant\alpha)=\mathbb P(X>\alpha)\) d'après la relation de Chasles.
\(\mathbb P(X=\alpha)=\displaystyle \int_\alpha^\alpha f(x)~dx=0\) d'après les propriétés des intégrales.
Remarque :
Naturellement, les propriétés des probabilités d'événements rencontrées dans le cas discret s'étendent au cas continu. Par exemple :
\(\mathbb P(\bar{E})=1-\mathbb P(E)\)
\(\mathbb P_B(A)=\dfrac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}\)