ROC : Existence de u alpha
Théorème
Soit \(X\hookrightarrow \mathcal N(0 ;1)\)
Alors pour tout réel \(\alpha\in ]0 ;1[\), il existe un unique réel positif \(u_\alpha\) tel que
\(\mathbb P(-u_\alpha \leqslant X \leqslant u_\alpha)=1-\alpha\)
Question
Démontrer ce résultat.
Indice
On pourra étudier la fonction \(H(x)=\mathbb P(-x\leqslant X\leqslant x)\).
Solution
Soit \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}\) la fonction densité de la variable aléatoire X
Posons \(H(x)=\displaystyle \int_{-x}^x f(t)~dt=2\displaystyle \int_0^x f(t)~dt\) par propriété de symétrie car la fonction \(f\) est paire.
D'après le théorème fondamental de l'intégration, on sait que \(H\) est dérivable et \(H'(x)=2f(x)\) donc positive sur \(\mathbb R^+\).
La fonction \(H\) est donc continue et strictement croissante sur \(\mathbb R^+\)
De plus
\(H(0)=\displaystyle \int_0^0 f(t)~dt=0\)
et \(\lim\limits_{x\to+\infty} H(x)=1\) car la fonction \(f\) est une fonction densité sur \(\mathbb R\) donc possède une aire totale sous la courbe égale à 1.
Pour tout réel \(\alpha\in]0 ;1[\), le réel \(1-\alpha\in]0 ;1[\).
Donc les hypothèses du TVI sont vérifiées et on peut affirmer qu'il existe un unique réel \(u_\alpha> 0\) tel que\( H(u_\alpha)=1-\alpha\)
cqfd