Primitives de fonctions usuelles
Par lecture inverse du tableau des dérivées et en utilisant la propriété vu précédemment, on en déduit le tableau suivant, à connaître par cœur et à ne pas confondre avec celui des dérivées !
Fondamental : Tableau de primitives usuelles
Fonction f | sur l'intervalle | Une primitive F de f |
|---|---|---|
\(f(x)=a ~ (a\in \mathbb R)\) | \(\mathbb R\) | \(F(x)=ax\) |
\(f(x)=x^n ~ (n\in \mathbb N)\) | \(\mathbb R\) | \(F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
\(f(x)=\dfrac{1}{x^2} \) | \(]-\infty ;0[\) ou \(]0 ;+\infty[\) | \(F(x)=-\dfrac{1}{x}\) |
\(f(x)=\dfrac{1}{x^3} \) | \(]-\infty ;0[\) ou \(]0 ;+\infty[\) | \(F(x)=-\dfrac{1}{2x^2}\) |
\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}\) | \(]0 ;+\infty[\) | \(F(x)=2\sqrt x\) |
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(]0 ;+\infty[\) | \(F(x)=\ln x\) |
\(f(x)=e^x\) | \(\mathbb R\) | \(F(x)=e^x\) |
Fondamental : Primitives des fonctions trigonométriques
Fonction f | sur l'intervalle | Une primitive F de f |
|---|---|---|
\(f(x)=\cos(x)\) | \(\mathbb R\) | \(F(x)=\sin(x)\) |
f(x)=\sin(x) | \(\mathbb R\) | \(F(x)=-\cos(x)\) |
Exemple :
Soit \(f(x)=x^5\). D'après la formule \(f(x)=x^n ~ (n=5)\) on a \(F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\dfrac{x^6}{6}\).
Soit \(f(x)=\dfrac{-1}{2x^2}\). On sait que \(f(x)=-\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{1}{x^{2}}~,(n=2)\) donc \(F(x)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{-1}{x}=\dfrac{1}{2x}\).
Complément : Primitives de fonctions composées
De ces formules se déduisent aussi d'autres similaires faisant intervenir une fonction \(u(x)\) définie et dérivable sur un intervalle \([a ;b]\).
Fonction f | sur l'intervalle | Une primitive F de f |
|---|---|---|
\(f(x)=u'(x)\times u(x)\) | \([a ;b]\) | \(F(x)=\dfrac{u(x)^2}{2}\) |
\(f(x)=\dfrac{u'(x)}{u^2(x)} \) | Un sous-intervalle de \([a ;b]\)où u ne s'annule pas | \(F(x)=-\dfrac{1}{u(x)}\) |
\(f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | Un sous-intervalle de \([a ;b]\)où u est strictement positive | \(F(x)=\ln (u(x))\) |
\(f(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) | Un sous-intervalle de \([a ;b]\)où u est strictement positive | \(F(x)=2\sqrt {u(x)}\) |
\(f(x)=u'(x)\times u^n(x)\), avec \(n \in \mathbb{Z}\) | [a ;b] si \(n>0\) et un sous-intervalle de \([a ;b]\)où u est strictement positive si \(n<0\) | \(F(x)=\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}\) |
\(f(x)=u'(x)\times e^{u(x)}\) | \([a ;b]\) | \(F(x)=e^{u(x)}\) |
Remarque :
Ces formules sont identiques aux premières à la différence près que quand \(x\) est remplacé par \(u(x)\), un \(u'(x)\) doit être en facteur dans la fonction \(f\) de départ pour pouvoir appliquer les formules de primitives.
Exemple :
Soit \(f(x)=2x(x^2-1)\). Posons \(u(x)=x^2-1\). \(f\) s'écrit alors \(f(x)=u'(x)\times u(x)\). Une primitive est \(\dfrac{u(x)^2}{2}\).
\(F(x)=\dfrac{(x^2-1)^2}{2}\)
Exemple :
Soit \(g(x)=(2x+1)e^{x^2+x-3}\). \(g(x)\) est du type \(u'\times e^u\) avec \(u(x)=x^2+x+3\).
Donc une primitive \(G\) est \(G(x)=e^{x^2+x+3}\).
Attention :
\(f(x)=e^{-x^2}\) ne peut pas se calculer à l'aide de la formule \(u'\times e^u\) car il n'y a pas de \(x\) en facteur de l'exponentielle.
En réalité, on démontre qu'il n'y a aucun moyen d'exprimer cette primitive au moyen des fonctions usuelles à notre disposition. Inutile donc de chercher à l'exprimer !
Cela ne veut pas dire pour autant qu'il n'existe pas de primitives ! Elles existent puisque la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\). Simplement, on ne peut pas les exprimer autrement que par une intégrale du type \(\displaystyle \int_0^x e^{-x^2}~ dx\).