Calcul de primitives

Déterminer une primitive des fonctions f suivantes.

Question

\(f(x)=x^3-4x^2+3x+5\)

Indice

\(f\) est une fonction polynôme donc est une somme de fonctions du type \(x^n\).

Solution

\(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-4\dfrac{x^3}{3}+3\dfrac {x^2}{2}+5x\)

Question

\(f(x)=\dfrac{5}{x^3}\)

Indice

\(f\) est une fonction du type \(\dfrac{1}{x^n}\)

Solution

Pour \(n=3\), la formule \(-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\) donne \(-\dfrac{1}{2x^2}\).

Reste à ne pas oublier la constante 5 en facteur de la fonction. On a donc \(F(x)=-\dfrac{5}{2x^2}\).

Question

\(f(x)=5\dfrac{\ln x}{x}\)

Indice

\(f\) est le produit de la fonction ln par sa dérivée.

Indice

On reconnaît du \(u'(x)\times u(x)\) avec \(u(x)=\ln x\).

Solution

\(f(x)=5\times u'(x)\times u(x)\) avec \(u(x)=\ln x\).

Or la dérivée de \(u'(x)u(x)\) est \(\dfrac{u(x)^2}{2}\).

Donc \(F(x)=\dfrac{5(\ln x)^2}{2}\).

Question

\(f(x)=e^{-3x+1}\)

Indice

Attention au \(e^u\). il faut faire apparaître un \(u'\) en facteur pour appliquer la formule.

Indice

\(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times (-3)e^{-3x+1}\)

Solution

\(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times (-3)e^{-3x+1}\) donc de la forme \(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times u'e^u\) où \(u(x)=-3x+1\)

La constante multiplicative se retrouve telle quel dans la primitive, donc :

\(F(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-3x+1}\)

Question

\(f(x)=3xe^{x^2-1}\)

Indice

Essayer de faire apparaître \(u'e^u\).

Indice

\(f(x)=\dfrac{3}{2}\times 2xe^{x^2-1}\)

Solution

\(f(x)=\dfrac{3}{2}\times 2xe^{x^2-1}\) donc \(f(x)=\dfrac{3}{2}\times u'e^u\) avec \(u(x)=x^2-1\).

On peut alors déduire \(F(x)=\dfrac{3}{2}e^{x^2-1}\).

Question

\(f(x)=\dfrac{2}{1-3x}\)

Indice

Essayer de mettre \(f\) sous la forme \(\dfrac{u'}{u}\).

Indice

\(f(x)=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{-3}{1-3x}\)

Solution

\(f(x)=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{-3}{1-3x}\) donc de la forme \(f(x)=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x)=1-3x\)

On applique la formule en n'oubliant par la constante multiplicative en facteur. On obtient donc :

\(F(x)=-\dfrac{2}{3}\times \ln (1-3x)\)

Question

\(f(x)=\dfrac{8x}{(x^2+3)^2}\)

Indice

Essayer de faire apparaître une forme \(\dfrac{u'}{u^2}\).

Indice

\(f(x)=4\times \dfrac{2x}{(x^2+3)^2}\)

Solution

\(f(x)=4\times \dfrac{2x}{(x^2+3)^2}\) donc de la forme \(4\times \dfrac{u'}{u^2}\) avec \(u(x)=x^2+3\)

Or \(\dfrac{u'}{u^2}\) a pour primitive \(\dfrac{-1}{u}\) donc en prenant en compte le 4 en facteur, on a :

\(F(x)=\dfrac{-4}{x^2+3}\)