Primitives de f+g et de kf (k réel)
De même que l'addition de fonction et le produit par un nombre sont des opérations transparentes pour la dérivation (la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, la dérivée du produit d'une fonction par un nombre et le produit par ce nombre de la dérivée de la fonction), il en va de même pour les primitives.
Méthode :
Si \(F\) et \(G\) sont les primitives respectives de \(f\) et \(g\) sur un intervalle donné, alors \(F+G\) est une primitive de \(f+g\) sur cet intervalle.
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle donné et \(k\) un réel, alors \(k\times F\) est une primitive de \(k\times f\) sur cet intervalle.
Exemple :
Soit la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^3+8x\) :
On sait que la fonction \(2x\) admet comme primitive \(x^2\) donc \(8x=4\times 2x\) admet comme primitive \(4x^2\).
On sait que \(4 x^3\) admet comme primitive \(x^4\) donc \(x^3=\dfrac{1}{4}\times 4x^3\) admet comme primitive \(\dfrac{1}{4}x^4\).
En faisant la somme des deux primitives obtenues, on peut dire que \(\dfrac{1}{4}x^4+4x^2\) est une primitive de \(x^3+8x\).