Dérivabilité des fonctions Sinus et Cosinus.
Pour tout \(x\in \mathbb(R)\), \(\sin'x=\cos x\) et \(\cos'x=-\sin x\)
Question
Démontrer cette affirmation.
Indice
\(\sin'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}{\dfrac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{h}} \)
Solution
\(\dfrac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{h}=\dfrac{\sin(x_0)\cos(h)+\cos(x_0)\sin(h)-\sin(x_0)}{h}=\sin(x_0)\dfrac{\cos(h)-1}{h}-\cos(x_0)\dfrac{\sin(h)}{h}\)
Comme on sait que :
\(\lim\limits_{h\to0}{\dfrac{sin(h)}{h}}=1\) et \(\lim\limits_{h\to0}{\dfrac{cos(h)-1}{h}}=0\), on en déduit que :
\(\lim\limits_{h\to0}{\dfrac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{h}}=\cos(x_0)\)
De même, on montre que \(\lim\limits_{h\to0}{\dfrac{\cos (x_0+h)-cos(x_0)}{h}}=-\sin(x_0)\). (à faire à titre d'exercice).