Probabilité de B sachant A
Définition :
Soient A et B deux événements avec \(P(A)\neq0\). La probabilité que l'événement B se produise sachant que l'événement A est réalisé est noté \(P_A(B)\) et se calcule par la formule \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\).
Complément :
\(P_A(B)\) se lit probabilité de B sachant A.
Exemple :
On lance deux dés équilibrés à 6 faces, un vert et un violet. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 10 sachant que le violet indique 4 ?
L'univers Ω associé à cette expérience est celui constitué des couples (1,1), (1,2), ..., (6,6). Il comporte 36 éventualités.
A est l'événement "Le dé violet indique 4"
B est l'événement "La somme des deux dés donne 10"
\(A\cap B\) est donc l'événement "Le dé violet donne 4 et la somme des deux dés donne 10". Sachant que le dé violet donne 4, le dé vert donne alors 6.
Il n'y a donc qu'une seule éventualité sur les 36 possibles réalisant cet événement. Donc \(P(A\cap B)=\frac{1}{36}\)
De même le dé étant équilibré, on sait que :
\(P(A)=\frac{1}{6}\)
La probabilité de faire 10 sachant que le dé violet donne 4 est donc :
\(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)