Formule des probabilités totales
Rappel :
On se rappelle de cette formule de la classe de seconde sur la probabilité de l'union de deux événements.
Le cas particulier en cas d'événements disjoints s'applique très bien à la situation d'une partition de l'univers en plusieurs événements.
Supposons que l'univers Ω possède une partition en trois événements A, B et C et que nous connaissons les probabilités conditionnelles d'un événement D sachant A, B et C. On sait :
d'une part que \(D=(A\cap D)\cup (B\cap D)\cup (C\cap D)\),
d'autre part que \((A\cap D)\), \((B\cap D)\) et \((C\cap D)\) sont disjoints.
Donc \(P(D)=P(A\cap D)+ P(B\cap D)+ P(C\cap D)\).
Par conséquent \(P(D)=P(A)\times P_A(D)+P(B)\times P_B(D)+P(C)\times P_C(D)\)
Par conséquent, on peut calculer la probabilité d'un événement sachant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers.
Méthode : Traduction sur un arbre pondéré
Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un événement D associé à plusieurs feuilles est égale à la somme des probabilités de chacune de ces feuilles.
Exemple :
Un magasin de sport propose des réductions sur les 3 marques qu'il distribue.
La marque A représente 64% des ventes, la marque N représente 28% et la marque O représente 8%.
On sait que sont soldés 30% des vêtements de la marque A, 60% de la marque N et 80% de la marque O.
Quel pourcentage au total des vêtements vendus par ce magasin est soldé ?
On sait que les événements A, N et O représentent une partition de l'univers Ω des vêtements vendus car
un vêtement ne peut pas être de deux marques à la fois
il n'y a pas d'autre marque en magasin puisque 64%+28%+8%=100% des vêtements.
On connaît les probabilités conditionnelles pour chacune des marques relatives au soldes :
\(P_A(S)=0,3\), \(P_N(S)=0,6\) et \(P_O(S)=0,8\)
On en déduit la probabilité qu'un article soit soldé par la somme \(P(S)=P(A)\times P_A(S)+P(N)\times P_N(S)+P(O)\times P_O(S)\)
Donc \(P(S)=0,64\times 0,3+0,28 \times 0,6+0,08\times 0,8=0,424\)
Par conséquent 42,4% des vêtements vendus par ce magasin sont soldés.