Fonction Exponentielle

Posons \(h(x)=f(x) f(-x)\) et calculons \(h'(x)\) :

\(h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))\) car la dérivée de \(f(-x)\) est \(-f'(-x)\)

Mais \(f'=f\) donc \(h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0\)

On en déduit donc que \(h(x)\) est une fonction constante.

Pour calculer cette constante, il nous suffit de dire que \(h(x)=h(0)=f(0)\times f(0)=1\)

CQFD

Nous allons supposer qu'il existe une autre fonction \(g(x)\) dérivable sur \(\mathbb R\) vérifiant :

• \(g'=g\)

• \(g(0)=1\)

La fonction \(exp\) ne s'annulant jamais (cf le résultat préliminaire), nous pouvons poser \(q(x)=\frac{g(x)}{\exp( x)}\)

Dérivons \(q\) :

\(q'(x)=\frac{g'(x)\exp( x) - g(x)\exp ' (x)}{(\exp (x))^2}=\frac{g(x)\exp (x) - g(x)\exp (x)}{(\exp (x))^2}=0\) puisque \(g'=g\) et \(\exp' = \exp\)

La fonction \(q\) est donc une fonction constante. Pour tout \(x\) réel, \(q(x)=q(0)=\frac{g(0)}{\exp 0}=1\)

Puisque pour tout \(x,~~ q(x)=1\), c'est donc dire que pour tout \(x, ~~g(x)=\exp x\)

CQFD