ROC : Démonstration de l'unicité de la fonction exponentielle
Résultat préliminaire
Si une fonction dérivable sur \(\mathbb R\) vérifie \(f'=f\) et \(f(0)=1\), alors pour tout réel \(x\), on a :
\(f(x) f(-x)=1\)
Par conséquent, une telle fonction ne s'annule jamais. La fonction exp que nous avons définie ne s’annule donc jamais.
Question
ROC : Démontrer ce résultat
Solution
Méthode : Démonstration du résultat préliminaire
Posons \(h(x)=f(x) f(-x)\) et calculons \(h'(x)\) :
\(h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))\) car la dérivée de \(f(-x)\) est \(-f'(-x)\)
Mais \(f'=f\) donc \(h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0\)
On en déduit donc que \(h(x)\) est une fonction constante.
Pour calculer cette constante, il nous suffit de dire que \(h(x)=h(0)=f(0)\times f(0)=1\)
CQFD
Unicité de la fonction exponentielle
La fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb R\) telle que :
\(f'=f\)
\(f(0)=1\)
est unique. On la note \(exp\).
Question
ROC : Démontrer ce résultat
Solution
Méthode : Démonstration de l'unicité de la fonction exp
Nous allons supposer qu'il existe une autre fonction \(g(x)\) dérivable sur \(\mathbb R\) vérifiant :
\(g'=g\)
\(g(0)=1\)
La fonction \(exp\) ne s'annulant jamais (cf le résultat préliminaire), nous pouvons poser \(q(x)=\frac{g(x)}{\exp( x)}\)
Dérivons \(q\) :
\(q'(x)=\frac{g'(x)\exp( x) - g(x)\exp ' (x)}{(\exp (x))^2}=\frac{g(x)\exp (x) - g(x)\exp (x)}{(\exp (x))^2}=0\) puisque \(g'=g\) et \(\exp' = \exp\)
La fonction \(q\) est donc une fonction constante. Pour tout \(x\) réel, \(q(x)=q(0)=\frac{g(0)}{\exp 0}=1\)
Puisque pour tout \(x,~~ q(x)=1\), c'est donc dire que pour tout \(x, ~~g(x)=\exp x\)
CQFD