Théorème de composition
Définition :
Composer deux fonctions signifie les enchaîner l'une après l'autre.
Par exemple la fonction \(f : x\longmapsto \sqrt{\frac{3}{x}+7}\) peut se calculer en calculant \(u : x\longmapsto \frac{3}{x}+7\) suivie de \(v : x\longmapsto \sqrt{x}\)
Ainsi\( f(x)=v(u(x))\). On note parfois \(f=v \circ u\). La fonction la plus à l'intérieur est celle qui se calcule en premier.
Fondamental : Théorème de composition (admis)
Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) des réels ou \(\pm \infty\)
On considère deux fonctions u et v telles que
\(\lim\limits_{x \to \alpha } u(x)=\beta\)
\(\lim\limits_{x \to \beta } v(x)=\gamma\)
Alors \(\lim\limits_{x \to \alpha } v(u(x))=\gamma\)
Remarque :
Ce théorème est un peu abstrait dans son énoncé mais son utilisation est très intuitive comme on va le voir sur l'exemple ci-dessous :
Exemple :
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty } \sqrt{\frac{3}{x}+7}\)
On commence par la fonction la plus à l'intérieur :
On sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty } \frac{1}{x}=0\) donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } \frac{3}{x}=0\) et en ajoutant 7 : \(\lim\limits_{x \to +\infty } \frac{3}{x}+7=7\)
On regarde le comportement de la fonction extérieure en 7 : ici \(x\longmapsto \sqrt{x}\) quand x se rapproche de 7 ne pose pas de problème et tend vers \(\sqrt 7\).
Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } \sqrt{\frac{3}{x}+7}=\sqrt 7\)