Calculs de limites en utilisant les opérations simples

Calculer les limites suivantes :

Question

\(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2+x\)

Solution

On sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty } x=+\infty\)

donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2+x=+\infty\) (forme +∞+∞) bien déterminée.

Question

\(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2-x\)

Indice

Attention à la forme indéterminée

Solution

On sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty } x=+\infty\)

donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2-x=+\infty\) est de la forme ∞-∞ qui est déterminée

MéthodeMettre en facteur le terme dominant

Pour lever ce type d'indétermination, il est courant de mettre en facteur le terme prépondérant dans l'expression. Ici, \(x^2\) l'emporte sur \(x\). C'est donc \(x^2\) que nous mettrons en facteur.

\(x^2-x=x^2(1-\frac{1}{x})\)

Or \(\lim\limits_{x \to +\infty } 1-\frac{1}{x}=1-0=1\) (voir limite d'une somme) et \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2=+\infty\)

Donc la limite du produit est connue (type \(\infty \times 1\)). On a \(\lim\limits_{x \to +\infty } x^2-x=+\infty\)

Question

\(\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{(x+1)^2}{x}\)

Indice

Attention à la forme indéterminée

Indice

On pourra développer le numérateur et se ramener à une somme de fonctions sont on connaît les limites

Solution

\(\lim\limits_{x \to +\infty } (x+1)^2=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty } x=+\infty\). On abouti donc à une forme indéterminée du type \(\frac{\infty}{\infty}\)

MéthodeCasser la fraction

Pour lever cette indétermination, on va développer le numérateur afin de séparer la fraction en une somme de fractions.

\(\frac{(x+1)^2}{x}=\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}+\dfrac{1}{x} = x+2+\dfrac{1}{x}\)

Or \(\lim\limits_{x \to +\infty } x+2=+\infty\) par somme de fonctions de limite finie et infinie

et \(\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x}=0\) car c'est une fonction usuelle.

La somme de ces deux limites est du type \(0+\infty\)

Et donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{(x+1)^2}{x}=+\infty\)

Question

\(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}} \dfrac{9x+4}{3x-6}\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x<2}} \dfrac{9x+4}{3x-6}\)

Indice

Attention au signe de \(3x-6\) ! !

Solution

Au voisinage de 2, \(9x+4\) est proche de 22 donc est positif. Par conte \(3x-6\) change de signe :

  • Si \(x>2, 3x-6>0\) et donc dans ce cas \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}} ~\dfrac{9x+4}{3x-6}=+\infty\)

  • Si \(x<2, 3x-6<0\) et donc dans ce cas \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x<2}} ~\dfrac{9x+4}{3x-6}=-\infty\)