Limites des suites géométriques
Fondamental : Récapitulatif
Soit la suite \((q^n)\) définie sur \(\mathbb N\), avec \(q\in \mathbb R\).
Si \(q>1, \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty\).
Si \(-1<q<1, \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0\).
Si \(q=1, \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=1\) car la suite est constante.
Si \(q\leqslant -1\), la suite \((q^n)\) n'a pas de limite.
Complément : Limite de q^n quand q>1
Ce premier point a été démontré en ROC précédemment.
Complément : Limite de q^n quand -1<q<1
On écarte le cas \(q=0\) qui n'est pas intéressant car dans ce cas, la suite est nulle. On suppose donc par la suite que \(q\neq 0\)
Posons \(p=\dfrac{1}{q}\) si \(q>0\) ou \(p=-\frac{1}{q}\) si \(q<0\)
Ainsi, \(p>1\) et \(p^n\) tend donc vers \(+\infty\)
Or \(q^n = \pm \frac{1}{p^n}\). On sait par propriété de la limite de l'inverse que \(q^n\) tend vers 0 dans tous les cas.
Complément : Limite de q^n quand q< -1
On admet le résultat dans ce cas. Le problème qui se passe intuitivement c'est que la suite tend vers l'infini en valeur absolue, mais il y a une alternance de signe qui fait que la suite alterne entre des nombres positifs et négatifs l’empêchant ainsi de converger.
Exemple :
Si on place 100€ à 2,5% d'intérêts, pour peu qu'on soit un peu patient... la somme placée dépassera un million d'euros... un jour. En effet, l'évolution suit une suite géométrique de raison 1,025>1 donc tend vers l'infini.