Limites des suites arithmétiques
Fondamental :
Soit \(u_n=u_0+n\times r\) une suite arithmétique de raison \(r\).
Si \(r>0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\)
Si \(r<0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(-\infty\)
Si \(r=0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(u_0\) car elle est constante !
Complément : Démonstration
On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\).
D'après les propriétés de la limite d'un produit,
Si \(r>0, \lim\limits_{n \to +\infty} nr=+\infty\)
Si \(r<0, \lim\limits_{n \to +\infty} nr=-\infty\)
D'après les propriétés de la limite d'une somme,
Si \(r>0, \lim\limits_{n \to +\infty} u_0+nr=+\infty\)
Si \(r<0, \lim\limits_{n \to +\infty} u_0+nr=-\infty\)
Exemple :
Peut-on construire un escalier dont les marches font 17cm de hauteur pour monter au sommet d'une tour de 800m ?
Si \(u_n\) désigne la hauteur atteinte par un escalier de n marches, c'est une suite arithmétique de raison \(0,17\).
Elle tend donc vers l'infini et dépassera à partir d'un certain rang la hauteur de 800m.