Limites usuelles
Méthode : Limites de suites usuelles
\(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt n=+\infty\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} n^k=+\infty\) pour tout entier \(k\geqslant 1\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n}=0\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2}=0\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt n}=0\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k}=0\) pour tout entier \(k\geqslant 1\)
Complément : Preuve pour n²
Soit A un nombre réel quelconque.
Si \(A\leqslant 0\), alors pour tout entier \(n\geqslant 1, n^2\geqslant 0\geqslant A\). On pose alors \(n_0=1\).
Sinon, A>0. Dans ce cas, pour tout entier \(n>\sqrt A, n^2>A\) puisque la fonction carré est croissante sur \(\mathbb R^+\).
Posons alors \(n_0=\mathbb E(\sqrt A)+1\).
On a alors pour tout entier \(n\geqslant n_0, n^2\in]A ;+\infty[\).
C'est donc bien que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty\).
Remarque :
On procéderait de manière analogue pour les autres limites infinies.
Les limites nulles se déduisent par passage à l'inverse.