ROC : Limite de q^n avec q>1
Inégalité de Bernoulli
Pour \(a>0\) et tout entier n, on a l'inégalité \((1+a)^n\geqslant 1+na\).
Question
ROC : Démontrer cette inégalité
Solution
Méthode : Démonstration de l'inégalité de Bernoulli
Posons \(\mathcal P_n\) la propriété disant que pour tout réel a>0 et \(n\) donné, \((1+a)^n\geqslant 1+na\).
1. Initialisation
Si \(n=0\) et \(a>0\), \((1+a)^0=1\) et \(1+0a=1\). Comme \(1\geqslant 1\), la propriété \(\mathcal P_0\) est vraie donc la récurrence est initialisée.
2. Hérédité
Supposons que pour \(a>0\) et un certain rang \(k\), la propriété \(\mathcal P_k\) soit vraie. Démontrons la au rang \(k+1\).
Donc, supposons que l'on a \((1+a)^k\geqslant 1+ka\).
On a : \((1+a)^{k+1}=(1+a)(1+a)^k\geqslant (1+a)(1+ka)\) en utilisant l'hypothèse de récurrence que \(\mathcal P_k\) est vraie car on a multiplié l'inégalité par (1+a) qui est positif.
En développant, on obtient \((1+a)^{k+1}\geqslant 1+ka+a+ka^2\).
Donc \((1+a)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)a+ka^2\)
Or \(ka^2>0\) donc \((1+a)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)a\).
La propriété \(\mathcal P_{k+1}\) est donc vraie. Elle est héréditaire.
3. Conclusion
On en déduit d'après le principe de récurrence que la propriété \(\mathcal P_n\) est vraie pour tout n, à savoir :
pour \(a>0\) et tout entier n, on a l'inégalité \((1+a)^n\geqslant 1+na\).
Limite de q^n quand q>1
pour tout réel \(q>1\), on a \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty\)
Question
ROC : Démontrer cette limite
Solution
Complément : Limite de q^n quand q>1
Puisqu'on est dans le cas \(q>1\), on peut écrire \(q=1+a\) avec \(a>0\)
On peut alors appliquer l'inégalité de Bernoulli que nous avons démontrée précédemment :
\(q^n\geqslant 1+an\) avec \(a>0\)
On sait par les propriétés du produit de limites et de somme que \(\lim\limits_{n \to +\infty} 1+an=+\infty\) puisque \(a>0\).
On en déduit d'après le théorème de comparaison que \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty\).