Estimer une proportion inconnue
La société SOAP veut estimer la taille du marché potentiel d'un nouveau produit de soin pour le corps auprès d'un public de femmes.
Un sondage est effectué auprès de 40 femmes. 24 sont satisfaites de ce nouveau produit.
Question
La société SOAP déclare que plus d'une femme sur deux et plus est satisfaite de son produit. Que penser de cette affirmation ?
Indice
On déterminera un intervalle de confiance dans lequel la proportion de femmes satisfaites du produit se situe.
Solution
Nous connaissons une estimation ponctuelle \(f=\dfrac{24}{40}=0,6\) auprès d'un échantillon, de 40 femmes.
L'intervalle de confiance attaché à cette fréquence observée est \(I=\left[0,6-\dfrac{1}{\sqrt {40}} ; 0,6+\dfrac{1}{\sqrt {40}}\right]\).
La proportion de femmes recherchée se situe donc quelque part dans l'intervalle \(I=[0,441 ;0,759]\)
Par conséquent, l'entreprise a tord de prétendre que plus d'une femme sur deux est satisfaite de son produit, car la taille de l'échantillon ne permet pas de l'affirmer.
Question
Suite aux protestations des associations de consommateurs pour publicité mensongère, l'entreprise commande un second sondage auprès de 225 femmes. 150 se déclarent alors satisfaites par le produit.
L'entreprise doit-elle changer sa stratégie de communication suite à ce nouveau sondage ?
Solution
Nous connaissons une nouvelle estimation ponctuelle \(f=\dfrac{150}{225} \approx 0,666\) auprès d'un échantillon, de 250 femmes.
L'intervalle de confiance attaché à cette fréquence observée est \(I=\left[\dfrac{150}{225}-\dfrac{1}{\sqrt {225}} ; \dfrac{150}{225}+\dfrac{1}{\sqrt {225}}\right]\).
La proportion de femmes recherchée se situe donc quelque part dans l'intervalle \(I=[0,6;0,733]\).
On peut alors conclure que le nombre de femmes satisfaites se situe bien au dessus de 50%. La communication faite au départ n'était donc probablement pas erronée (au risque de se tromper de 5%).
Question
L'entreprise souhaite à présent connaître plus précisément le nombre de femmes satisfaites par son produit. Elle souhaite obtenir une proportion dans une fourchette de 10%.
Quelle taille minimum d'échantillon doit-elle choisir ?
Indice
L'amplitude de l'intervalle de confiance ne doit pas excéder 0,1
Solution
On cherche n de manière à ce que \(\dfrac{2}{\sqrt n}<0,1 \Leftrightarrow \sqrt n > \dfrac{2}{0,1}\) et donc \(n>400\)
L'entreprise doit donc interroger plus de 400 personnes pour obtenir une estimation rentrant dans une fourchette de 10%.