Loi de probabilité à densité [Lois continues]

Loi de probabilité à densité

Définition :

Soit $f$ une densité de probabilité sur un intervalle $[a ;b]$ .

Une variable aléatoire X à valeurs dans un intervalle $[a ;b]$ suit la loi de densité $f$ lorsque pour tous nombres α et β dans $[a ;b]$ , on a :

$\mathbb P(\alpha\leqslant X \leqslant \beta)=\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)~dx$

Dans ce cas, la variable aléatoire est dite continue.

L'aire du domaine $\left \{ M(x ;y) ;x\in [a;b] ~et ~0\le y\le f(x) \right \}$ est égal à 1.

$\mathbb P(\alpha\leqslant X \leqslant \beta)$ est égale à l'aire du domaine $\left \{ M(x ;y) ;x\in [\alpha;\beta] ~et ~0\le y\le f(x) \right \}$

Exemple :

Dans le cas d'une variable aléatoire suivant la loi de densité de l'exemple précédent $f(x)=3x^2$ sur $[0 ;1]$ , on a :

$\mathbb P(\dfrac{1}{4}\leqslant X\leqslant \dfrac{3}{4})=\displaystyle \int_{1/4}^{3/4}3x^2~dx=\dfrac{13}{32}$
$\mathbb P(X> \dfrac{1}{2})=\displaystyle \int_{1/2}^{1}3x^2~dx=\dfrac{7}{8}=0,875$

Cette dernière probabilité peut s'interpréter à l'aide du graphique suivant :

probabilité à densité

Exemple :

La variable aléatoire donnant la taille d'une personne en cm est une variable aléatoire continue.

Complément :

Dans le cas où la variable aléatoire X est continue à valeurs dans un intervalle $[a ;+\infty[$ , on doit s'assurer que la limite de l'aire d'un certain domaine tend vers 1 :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \int_{a}^{x}f(t)~dt=1$

On peut aussi définir de la même façon une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle $]-\infty ;a[$ , ou bien encore sur $]-\infty ;+\infty[$ en découpant le domaine en deux parties et en vérifiant que :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \int_{x}^{0}f(t)~dt+\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \int_{0}^{x}f(t)~dt=1$