Calculer avec une loi de probabilité continue
On a vu dans le précédent exercice que la fonction \(f :x\longmapsto 3~x^2\) est une densité de probabilité sur \([0 ;1]\).
On considère la variable aléatoire continue X dont \(f(x)\) est la loi de densité sur \([0 ;1]\).
Question
Calculer \(\mathbb P(X\leqslant \dfrac{1}{3})\).
Solution
\(\mathbb P(X\leqslant \dfrac{1}{3})=\displaystyle \int_0^{1/3} 3~x^2~dx\)
Soit\( F(x)=x^3\) une primitive de f. \(\mathbb P(X\leqslant \dfrac{1}{3})=F(\dfrac{1}{3})-F(0)=\dfrac{1}{27}\).
Question
Déterminer la médiane de la variable aléatoire X, c'est à dire le nombre m tel que \(\mathbb P(X\leqslant m)=0,5\).
Indice
\(\mathbb P(X\leqslant m)=\displaystyle \int_0^m 3~x^2~dx\).
Solution
\(\mathbb P(X\leqslant m)=F(m)-F(0)=m^3\)
Nous cherchons à résoudre l'équation\( m^3=0,5\). EN passant au logarithme, on a :
\(3\ln m=\ln 0,5\) donc \(\ln m=\dfrac{\ln 0,5}{3}\)
Donc \(m=e^{ \dfrac{\ln 0,5}{3}}\approx 0.79\).