Continuité des fonctions usuelles
En règle générale, toutes les fonctions que vous avez rencontrées jusqu'alors sont des fonctions continues. Cela découle des deux propriétés suivantes, que nous admettrons :
Fondamental : Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions usuelles, à savoir :
Les fonctions polynômes (sommes de puissances de \(x\))
les fonctions rationnelles (quotients de polynômes), notamment la fonction inverse
la fonction racine carrée
les fonctions exponentielles
ainsi que les fonctions composées de ces fonctions usuelles sont des fonctions continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.
Fondamental : Continuité des fonctions dérivables
Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\).
Attention : Problème de dérivabilité des fonctions continues.
La réciproque de cette propriété est fausse.
En effet, la fonction \(x\longmapsto\sqrt{x}\) est définie sur \([0 ;+\infty[\) mais n'est dérivable que sur \(]0 ;+\infty[\).