Exercice : Etude algébrique de la convexité de la fonction carré [Convexité]

Etude algébrique de la convexité de la fonction carré

Au delà de la lecture graphique de la convexité, nous allons étudier sur un exemple simple la convexité au travers d'un calcul algébrique.

Pour cela, on s'intéresse à la fonction carré.

Donner l'équation de la tangente $\mathcal{T}_a$ à la parabole $\mathcal{P}$ représentant la fonction $x\longmapsto x^2$ au point d'abscisse $a$ .

On se rappelle que l'équation d'une tangente en un point d'abscisse $a$ est donné par la formule :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$f(x)=x^2$ donc en un point d'abscisse $a,~ f'(a)=2a$

donc la tangente $\mathcal{T}_a$ a pour équation $y=2a(x-a)+a^2$

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{P}$ par rapport à la tangente $\mathcal{T}_a$ au point d'abscisse $a$ .

Convexité de la fonction carré

On calculera la différence entre la fonction carré et la tangente précédemment calculée.

On essayera de factoriser l'expression en faisant apparaître $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$

La différence entre la courbe et la tangente est :

$x^2-(2a(x-a)+a^2)=x^2-a^2-2a(x-a)=(x-a)(x+a)-2a(x-a)=(x-a)(x+a-2a)=(x-a)^2$

Cette différence est un carré donc toujours positif. Par conséquent, on peut affirmer que la courbe est toujours au dessus de sa tangente.

Que conclure quant à la convexité de la fonction $x\longmapsto x^2$ ?

D'après la définition d'une fonction convexe, on peut affirmer que la fonction $x\longmapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .