Etude algébrique de la convexité de la fonction carré
Au delà de la lecture graphique de la convexité, nous allons étudier sur un exemple simple la convexité au travers d'un calcul algébrique.
Pour cela, on s'intéresse à la fonction carré.
Question
Donner l'équation de la tangente \(\mathcal{T}_a\) à la parabole \(\mathcal{P}\) représentant la fonction \(x\longmapsto x^2\) au point d'abscisse \(a\).
Indice
On se rappelle que l'équation d'une tangente en un point d'abscisse \(a\) est donné par la formule :
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Solution
\(f(x)=x^2\) donc en un point d'abscisse \(a,~ f'(a)=2a\)
donc la tangente \(\mathcal{T}_a\) a pour équation \(y=2a(x-a)+a^2\)
Question
Étudier la position relative de la courbe \(\mathcal{P}\) par rapport à la tangente \(\mathcal{T}_a\) au point d'abscisse \(a\).
Indice
On calculera la différence entre la fonction carré et la tangente précédemment calculée.
On essayera de factoriser l'expression en faisant apparaître \(x^2-a^2=(x-a)(x+a)\)
Solution
La différence entre la courbe et la tangente est :
\(x^2-(2a(x-a)+a^2)=x^2-a^2-2a(x-a)=(x-a)(x+a)-2a(x-a)=(x-a)(x+a-2a)=(x-a)^2\)
Cette différence est un carré donc toujours positif. Par conséquent, on peut affirmer que la courbe est toujours au dessus de sa tangente.
Question
Que conclure quant à la convexité de la fonction \(x\longmapsto x^2\) ?
Solution
D'après la définition d'une fonction convexe, on peut affirmer que la fonction \(x\longmapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).