Règle du produit nul
Fondamental :
Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Exemple :
Résoudre l'équation \((x+5)(2-x)=0\).
L'équation se présente sous la forme d'une équation-produit. Si on développe ce produit, on obtient une équation du second degré qu'on ne sait pas résoudre.
On va donc garder la forme factorisée et utiliser la règle du produit nul.
\((x+5)(2-x)=0\Longleftrightarrow x+5=0\ ou \ 2-x=0\)
On ramène donc la résolution d'une équation du second degré à la résolution de deux équations du premier degré que l'on sait traiter.
\(x+5=0\) permet d'écrire \(x=-5\)
\(2-x=0\) permet d'écrire \(x=2\)
L'équation \((x+5)(2-x)=0\) admet donc deux solutions : -5 et 2. On note l'ensemble des solutions est \(S=\{-5 ;2\}\).
Attention :
On ne confondra pas les crochets et les accolades dans la notation de l'ensemble des solutions. Les crochets désignent des intervalles (une infinité de nombres), alors que les accolades désignent un ensemble d'un ou plusieurs nombres solutions de l'équation.