Résolution algébrique par substitution
Méthode : Vidéo : résolution d'un système par substitution
Regardez la vidéo suivante, puis essayez de résoudre l'exemple ci-dessous sans regarder la solution.
Exemple :
Considérons le système \((S) \left \{ \begin{array}{c}2x+y=5\\3x-2y=1\end{array} \right.\)
Méthode :
On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation et on substitue le résultat dans la seconde équation.
Nous avions obtenu au paragraphe précédent que le système se ramenait aux deux équations \(y=-2x+5\) et \(y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\). Dans cette nouvelle forme, l'inconnue y est exprimée en fonction de x et la substitution est aisée.
On obtient l'équation \((E) :-2x+5=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\).
En multipliant par deux pour éliminer les fractions, on a \((E)\Longleftrightarrow -4x+10=3x-1\).
En regroupant les x à gauche et les nombres à droites on a \((E)\Longleftrightarrow -7x=-11\).
Soit \(x=\dfrac{11}{7}\).
En substituant ce résultat dans n'importe quelle équation, mettons la première, on obtient y :
\(y=-2\times \dfrac{11}{7}+5=-\dfrac{22}{7}+\dfrac{35}{7}=\dfrac{13}{7}\)
Le système (S) a donc pour unique solution le couple \((\dfrac{11}{7} ;\dfrac{13}{7})\).
Remarque :\( \dfrac{11}{7}\approx 1,6 et \dfrac{13}{7}\approx 1,9\).