Équation à deux inconnues
Soient u, v et w trois réels avec u ou v non nul.
L'ensemble des couples (x, y) solutions de l'équation \(ux + vy = w\) peut être représenté graphiquement par une droite dans le plan rapporté à un repère. L'équation \(ux + vy = w\) est appelée équation cartésienne de cette droite.
En effet,
Si \(v = 0\), on a \(ux = w\), donc , \(x=\dfrac{w}{u}\) est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Si \(v \neq 0\), on a \(y=\dfrac{-u}{v}x+\dfrac{w}{v}\) est l'équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Réciproquement, toute droite du plan rapporté à un repère admet une équation du type \(ux+vy=w\).
En effet, si c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, ayant une équation de la forme \(x=a\), alors on a :
\(x+0y=a\) donc bien de la forme souhaitée.
Si c'est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation \(y=2x-3\) par exemple, on peut alors écrire \(2x-y=3\), donc elle est bien de la forme souhaitée.
Exemple :
Soit \((E) : 2x+3y=5\).
En isolant \(y\) à gauche on a \((E) \Longleftrightarrow 3y=-2x+5\),
et en divisant le tout par 3, on obtient : \((E) \Longleftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\).
Ainsi, l'ensemble des couples (x, y) solutions de \(2x + 3y = 5\) peut être représenté par la droite d'équation \(y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\).