Résolution algébrique par combinaison
Méthode : Vidéo : résolution d'un système par substitution
Regardez la vidéo suivante, puis essayez de résoudre l'exemple ci-dessous sans regarder la solution.
Exemple :
Reprenons le système \((S) \left \{ \begin{array}{c}2x+y=5\\3x-2y=1\end{array} \right.\) :
Méthode :
On multiplie les équations par les coefficients adéquats de manière à éliminer une inconnue par somme ou différence.
Dans l'exemple précédent, pour éliminer l'inconnue \(x\), on va multiplier la première équation par 3 et la seconde par 2, puis faire la différence membre à membre :
Le système (S) équivaut à \(\left \{ \begin{array}{c}6x+3y=15\\6x-4y=2\end{array} \right.\)
Par différence de la première ligne par la seconde, les x s'éliminent pour ne laisser place qu'à une équation en y :
\(3y-(-4y)=15-2 \Longleftrightarrow 7y=13\)
d'où l'on retrouve \(y=\dfrac{13}{7}\)
En remplaçant la valeur de l'inconnue ainsi découverte dans l'une des deux équations de départ (ou en recombinant les équations selon les situations), on déduit la seconde inconnue.
\(2x+\dfrac{13}{7}=5 \Longleftrightarrow 2x=5-\dfrac{13}{7}=\dfrac{22}{7}\)
d'où \(x=\dfrac{11}{7}\).
Le système (S) a donc pour unique solution le couple \((\dfrac{11}{7}\);\(\dfrac{13}{7})\).