Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire

DéfinitionEspérance

On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité P est donnée par le tableau :

xi

x1

x2

x3

.....

xn

P(X=xi)

p1

p2

p3

.....

pn

On appelle espérance mathématique de X le nombre réel :

\(E(X)=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n p_i x_i=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n P(X=x_i)\ x_i=p_1x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 + ..... + p_n x_n\)

ExempleLancé d'un dé

On lance un dé. On perd 2 euros si on tire 1 ou 2, on gagne 0,5 euros si on tire 3 et enfin on gagne 1euro si on tire 4, 5 ou 6.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le gain associé à un tirage.

On a ainsi

  • X(1)=X(2)=\(-2\)

  • X(3)=0,5

  • X(4)=X(5)=X(6)=1

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donc donnée par le tableau :

xi

-2

0,5

1

P(X=xi)

\(\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{1}{2}\)

L'espérance se calcule alors ainsi :

\(E(X)=\dfrac{1}{3}\times (-2)+\dfrac{1}{6}\times 0,5+\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{-4}{6}+\dfrac{0,5}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{-0,5}{6}=\dfrac{-1}{12}\)

Concrètement, elle signifie que si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu, en moyenne, on perd \(\dfrac{1}{12}\) d'euro par partie.

ComplémentInterprétation

Pour une expérience donnée dans le modèle défini par une loi de probabilité d'une variable aléatoire X, la moyenne des résultats obtenus sur des séries de taille N se rapproche de l'espérance mathématique lorsque N devient grand, c'est à dire que si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, la moyenne des résultats obtenus se rapproche de l'espérance mathématique.

Le mot « espérance » vient du langage des jeux : lorsque X désigne le gain, E(X) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties.

Dans l'exemple précédent, l'espérance mathématique est négative. On peut donc penser que le joueur qui répétera le jeu un grand nombre de fois sera perdant en fin de compte.

Définition

Pour la variable aléatoire X définie ci-dessus, on appelle variance de \(X\) le nombre réel positif suivant :

\(Var(X)=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n p_i \left( x_i-E(X) \right )²=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n P(X=x_i)\ \left( x_i-E(X) \right )²\\ \hspace{1.5cm}=p_1(x_1-E(X))² + p_2( x_2-E(X))² + p_3( x_3-E(X))² + ..... + p_n( x_n-E(X))²\)

L'écart-type de X est le nombre noté \(\sigma (X)=\sqrt{Var(X)}\).

ExempleReprenons encore une fois l'exemple précédent...

La variance se calcule ainsi :

\(Var(X)=\dfrac{1}{3}\times \left(-2-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \left(0.5-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2+\dfrac{1}{2}\times \left(1-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{-23}{12}\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{7}{12}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{13}{12}\right)^2=\dfrac{269}{144} \).

Et donc :

\(\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{269}{144}}=\dfrac{\sqrt{269}}{12}\).

Utilisation de la calculatrice pour le calcul de l'écart-type :

Il suffit d'utiliser le mode statistique, comme on l'a vu précédemment : cf casio et ti.

ComplémentUne autre formule de la variance (admise)

On peut calculer la variance par une autre formule, souvent plus simple dans les calculs :

\(Var(X)=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n p_i x_i^2-\left[E(X) \right]^2=p_1.x_1^2 + p_2.x_2^2 + p_3.x_3^2 + ..... + p_n.x_n^2 - \left[E(X)\right]^2\)

Ce dernier résultat est connu sous le nom de théorème de König-Huygens.

ExempleVérifions cette nouvelle formule sur l'exemple précédent

\(Var(X)=\dfrac{1}{3}\times \left(-2\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \left(0.5\right)^2+\dfrac{1}{2}\times \left(1 \right)^2-\left(-\dfrac 1{12}\right)^2=\dfrac 4 3+\dfrac 1{24}+\dfrac 1 2-\dfrac 1{144}=\dfrac{269}{144}\)

On retrouve bien par cette nouvelle formule le même résultat que précédemment. On constate que les calculs ont été plus faciles.