Découverte de l'espérance

Ne pas perdre la boule, suite...

Rappelons l'activité précédente :

  • Une urne comprend une boule verte (V), une boule bleue (B) et deux boules rouges (R1 et R2). On tire au hasard une boule, puis une deuxième sans avoir remis la première.

  • On joue un peu d'argent :

    • Une boule bleue ne rapporte rien et ne fait rien perdre

    • une boule verte rapporte 2 euros

    • chaque boule rouge fait perdre 1,5 euro.

La question que l'on va se poser dans cette activité, c'est de savoir s'il est rentable de jouer à ce jeu ou si on contraire, on sera globalement perdant.

Ce genre de question se pose sans arrêt si on est gérant de casino ou que l'on travaille à la française des jeux. Il est bien évident qu'en tant qu'organisateur, on aura tout intérêt à ce que le jeu soit en notre faveur, ou à la défaveur du joueur, si on veut réaliser des bénéfices.

Question

Simulation : On souhaite simuler sur ordinateur ou calculatrice ce jeu. Comment pourrait-on modéliser la situation ?

Indice

On se rappelle que la calculatrice peut générer des nombres entiers aléatoires ...

Solution

Le plus simple pour modéliser cette situation est de choisir un nombre aléatoire entre 1 et 4.

  • 1 correspond à la boule verte

  • 2 correspond à la boule bleue

  • 3 correspond à la boule rouge R1

  • 4 correspond à la boule rouge R2

Question

Écrire un algorithme permettant de simuler une partie. Cet algorithme ne prendra rien en entrée mais retournera le gain algébrique à l'issue de cette partie.

Solution

Algorithme : Simuler une partie

Initialisation

B est un entier aléatoire entre 1 et 4

C est un entier aléatoire entre 1 et 4

Traitement

Tant que B=C, Faire

C est un entier aléatoire entre 1 et 4

Fin tant que

Si B=1, alors G prend la valeur 2

Si B=2, alors G prend la valeur 0

Si B≥3, alors G prend la valeur -1,5

Si C=1, alors G prend la valeur G+2

Si C≥3, alors G prend la valeur G-1,5

Sortie

Afficher G

ComplémentQuelques explications

B correspond à la première boule, C à la seconde et G, au gain réalisé.

Le tirage est sans remise. Il n'est donc pas possible que C ait la même valeur que B. Par conséquent, la partie traitement commence par une boucle tant que afin de s'assurer que la valeur de C est différente de B.

Question

Programmez cet algorithme sur calculatrice ou sur ordinateur.

Solution

Solution en langage Python
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from random import randint
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def simul():
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    B=randint(1,4)
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    C=randint(1,4)
6
    
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    while B==C:
8
        C=randint(1,4)
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10
    if B==1:
11
        G=2
12
    if B==2:
13
        G=0
14
    if B>=3:
15
        G=-1.5
16
    if C==1:
17
        G=G+2
18
    if C>=3:
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        G=G-1.5
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    return G
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print(simul())
Vous pouvez tester ce code en ligne en cliquant sur le lien ci-dessous
Simulation en Python
Question
On répète à présent 100 fois la partie. Quel est le gain moyen obtenu ?
Complétez votre algorithme afin de répondre à cette question. Vous compléterez alors le programme.
Solution
Algorithme Gain sur 60 parties
Initialisation
T prend la valeur 0
Traitement
Simuler une partie. Mettre le résultat dans G
T prend la valeur T+G
Sortie
Afficher T/100
Programme en Python
Nous utiliserons ici la fonction simul() réalisée dans la question précédente.
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T=0
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for i in range(100):
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  T=T+simul()
4
print(T/100)
Vous pouvez tester ce code en ligne en cliquant sur le lien ci-dessous. Pour des raisons techniques liées au site pythontutor, la simulation a été réalisée sur 50 parties seulement.
Simulation en Python
Question
Lorsque on effectue un très grand nombre de parties, que peut-on dire du gain moyen espéré pour chaque partie ?
Solution
Pour savoir ce que devient le gain moyen, on lance le programme précédent sur un grand nombre de parties. On peut par exemple utiliser le langage python en ligne sur le site
repl.it et copier/coller le programme suivant simulant 100000 parties.
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from random import randint
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def simul():
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    B=randint(1,4)
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    C=randint(1,4)
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    while B==C:
8
        C=randint(1,4)
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    if B==1:
10
        G=2
11
    if B==2:
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        G=0
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    if B>=3:
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        G=-1.5
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    if C==1:
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        G=G+2
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    if C>=3:
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        G=G-1.5
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20
    return G
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T=0
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N=100000
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for i in range(N):
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  T=T+simul()
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print(T/N)
On constate que lorsque le nombre de parties devient grand, le gain moyen que l'on peut espérer obtenir pour chaque partie se stabilise autour d'une valeur : environ -0,5. 


Vers la notion d'espérance
Si l'on en croit la simulation, ce jeu fait perdre 50 centimes par partie au joueur. Il lui est donc défavorable. Comment peut-on en être sûr ? C'est le moment d’introduire la notion d'espérance d'une variable aléatoire.
Reprenons pour cela la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le gain du joueur à l'issue d'une partie.
 Loi de probabilité de la variable aléatoire X.
\(x_i\)
\(-3\)
\(-1,5\)
\(0,5\)
\(2\)
\(P(X=x_i)\)
\(\dfrac 1 6\)
\(\dfrac 1 3\)
\(\dfrac 1 3\)
\(\dfrac 1 6\)
On voit que le joueur perd 3 euros avec une probabilité de \(\dfrac 1 6\), perd 1,5 euro avec une probabilité de \(\dfrac 1 3\), gagne 0,5 euros avec une probabilité de \(\dfrac 1 3\) et gagne 2 euros avec une probabilité de \(\dfrac 1 6\). Pur calculer le gain moyen, on va tout simplement calculer la moyenne de cette série statistique : les données sont en première ligne, ce sont les \(x_i\), et les coefficients sont les probabilités associées, donc \(P(X=x_i)\)
Question
Calculer le gain moyen que le joueur peut espérer avoir.
Solution
\(\bar x = -3\times \dfrac 1 6 + (-1,5)\times \dfrac 1 3 + 0,5\times \dfrac 1 3 + 2\times \dfrac 1 6 = -0,5\) 
Conclusion
Ce calcul de moyenne confirme bien les simulations réalisées. Le joueur peut donc espérer perdre 0,5 euros à chaque partie. Le jeu est défavorable au joueur donc favorable à son organisateur !
Nous venons de calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\). On note E(x)=-0,5. C'est en fait la moyenne des valeurs prises par X en prenant comme valeur les valeurs \(x_i\) prises par \(X\) et comme coefficient les probabilités \(P(X=x_i)\) associées.