Dérivées

Expliquons le phénomène constaté sur la simulation. La fonction considérée est \(f(x)=x^2\).

Nous avons vu que le taux d'accroissement en \(a\) de \(f\) est :

\( T_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}\)

Si \(h≠0\), on peut simplifier par \(h\) et obtenir \(T_a(h)=2a+h\).

Lorsque \(h\) tend vers 0, \(T_a(h)\) se rapproche d'un nombre réel qui est \(2a\).

Nous avons donc démontré que pour tout réel \(a\), \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)=2a\). Cela explique le phénomène rencontré sur la simulation sur laquelle nous avions constaté que la pente de la tangente en A était le double de l'abscisse de A.