Question
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x+1\).
Déterminer la fonction dérivée \(f'(x)\).
Indice
On calculera en simplifiant au maximum \(T_x(h)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\).
Solution
\(T_x(h)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\( =\dfrac{-2(x+h)+1-(-2x+1)}{h}\)
\( =\dfrac{-2x-2h+1+2x-1}{h}\)
\( =\dfrac{-2h}{h}\)
Si \(h\neq0\), on simplifie par \(h\) et on a \(T_x(h)=-2\) qui du coup se rapproche de -2 lorsque \(h\) tend vers 0, et ce quelque soit \(x\).
Nous avons donc démontré que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-2\). Sa dérivée est donc une fonction constante.