Dérivée en un point

Définition

Si le quotient \(T_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable en a.

Le nombre réel vers lequel tend le taux d'accroissement \(T_a(h)\) est appelé nombre dérivé de f en a. On le note \(f'(a)\).

Remarque

En reprenant la notation des limites introduite lors de l'exercice précédent, on peut écrire :

\(f'(a)=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

Le nombre h s'étant rapproché de 0, le nombre dérivé \(f'(a)\) ne dépend plus que de a contrairement au taux d'accroissement \(T_a(h)\) qui dépend à la fois de a et de h. C'est la différence fondamentale qu'il y a entre le taux d'accroissement et le nombre dérivé : le second étant la limite du premier lorsque \(h\) tend vers 0.

Exemple

En reprenant l'exercice du paragraphe précédent, on peut affirmer avec les notations introduites ici que \(f :x\longmapsto x^2\) est dérivable en 2 et \(f'(2)=4\).

ComplémentUtiliser la calculatrice Casio pour calculer f'(a)

Pour calculer la dérivée en un point avec une calculatrice de type CASIO, aller dans MENU RUN OPTN CALC.

On calcule ici la dérivée en 2 de la fonction \(f(x)=x^2\), c'est à dire \(f'(2)\).

ComplémentUtiliser la calculatrice TI pour calculer f'(a)

Pour calculer la dérivée en un point avec une calculatrice de type TI, aller dans MATH 8 :nDeriv(.

On calcule ici la dérivée en 2 de la fonction \(f(x)=x^2\), c'est à dire \(f'(2)\).