Factorisation d'un polynôme du second degré
Fondamental : Propriété
Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) où \(a\neq 0\) un polynôme du second degré et \(\Delta=b^2-4ac\) son discriminant.
Si \(\Delta>0\) : \(f\) se factorise sous la forme \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) où \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines du polynôme.
Si \(\Delta=0\) : \(f\) se factorise sous la forme \(f(x)=a(x-\alpha)^2\) où \(\alpha\) est la racine double du polynôme.
Si \(\Delta<0\) : \(f\) ne se factorise pas.
Complément : Démonstration
Il suffit de revoir la résolution de l'équation \(ax²+bx+c=0\) :
Exemple : En reprenant les exemples du paragraphe précédent
\(f(x)=2x^2+7x-15\) se factorise en \(f(x)=2\left(x-(-5)\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)=2(x+5)\left(x-\frac{3}{2}\right)\)
\(f(x)=4x^2-4,8x+1,44\) se factorise en \(f(x)=4(x-0,6)^2\)
\(f(x)=2x^2+x+1\) ne se factorise pas.