Équation du second degré

Propriété

Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré. \(f\) peut s'écrire sous la forme :

\(f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\) où \(\Delta=b^2-4ac\)

ComplémentJustification de la propriété

La propriété donne une formule permettant de fournir la forme canonique d'un polynôme du second degré. On se souvient que celle-ci est de la forme :

\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) où \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\)

La propriété nous donne donc la connaissance du coefficient \(\beta\). Celui-ci se calcule à la main ou au moyen d'un logiciel de calcul formel par \(f(-\frac{b}{2a})\).

En mettant a en facteur de cette expression, on retrouve bien le second terme de la propriété à savoir \(-a\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

DéfinitionDiscriminant

Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré.

\(\Delta=b^2-4ac\) est appelé Discriminant du polynôme.

FondamentalPropriété

Résolution de \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a \neq 0\) :

Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant. Le signe de \(\Delta\) permet de trouver les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a \neq 0\).

  • Si \(\Delta > 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) admet deux solutions :

    \(x_1 =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

  • Si \(\Delta = 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) admet une solution unique :

    \(\alpha =\frac{-b}{2a}\)

  • Si \(\Delta < 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) n'admet aucune solution.

ComplémentDémonstration

Résoudre \(ax²+bx+c=0\) revient à résoudre \(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a²}\right]=0\) ce qui s'écrit aussi \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a²}=0\) et donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a²}\).

  • Si \(\Delta<0\), l'équation n'a pas de solution car un carré ne peut pas être négatif (\(-\frac{\Delta} {4a²}<0\).

  • Si \(\Delta=0\), \(-\frac{\Delta} {4a²}=0\) donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0\). Ainsi \(x+\frac{b}{2a})=0\) et \(x=-\frac{b}{2a}\)

  • Si \(\Delta>0\), \(\Delta\) est le carré de \(\sqrt{\Delta}\), et donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\sqrt{\Delta}^2}{4a²}=0\).

    On peut alors utiliser la 3ème identité remarquable pour factoriser le membre de gauche :

    \(\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right] \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\)

    Par la règle du produit nul, on peut écrire que \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{4a²}=0\) ou que \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{4a²}=0\), donc :

    Donc \(x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)

    Les deux solutions de l'équation sont donc :

    Ainsi, \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Remarque

Lorsque les coefficients a et c sont de signes contraires, \(\Delta\) est forcément positif, donc le trinôme a deux racines.

Exemple

Résoudre l'équation \(2x^2+7x-15=0\) :

\(\Delta=7^2-4\times 2\times (15)=169\)

\(\Delta > 0\) donc l'équation admet deux solutions :

\(x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\times 2}=\frac{-7-13}{4}=-5\)

\(x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\times 2}=\frac{-7+13}{4}=\frac{3}{2}\)

On a donc : \(S=\left\{ -5 ;\frac{3}{2} \right\}\).

Exemple

Résoudre l'équation \(4x^2-4,8x+1,44=0\).

\(\Delta=(-4,8)^2-4\times 4\times 1,44=23,04-23,04=0\)

\(\Delta=0\), cette équation admet une solution unique : \(\alpha=-\frac{-4,8}{2\times 4}=0,6\).

On a donc \(S=\{0,6\}\).

Exemple

Résoudre l'équation \(2x^2+x+1=0\).

\(\Delta=1^2-4\times 2\times 1=-7\)

\(\Delta < 0\) , cette équation n'admet donc aucune solution.

On a donc \(S=\emptyset\).

Définition

Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré.

Les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) sont appelées racines du polynôme \(f\).

Dans le cas \(\Delta=0\), l'unique racine est appelée racine double.