Équation du second degré
Propriété
Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré. \(f\) peut s'écrire sous la forme :
\(f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\) où \(\Delta=b^2-4ac\)
Complément : Justification de la propriété
La propriété donne une formule permettant de fournir la forme canonique d'un polynôme du second degré. On se souvient que celle-ci est de la forme :
\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) où \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\)
La propriété nous donne donc la connaissance du coefficient \(\beta\). Celui-ci se calcule à la main ou au moyen d'un logiciel de calcul formel par \(f(-\frac{b}{2a})\).
En mettant a en facteur de cette expression, on retrouve bien le second terme de la propriété à savoir \(-a\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
Définition : Discriminant
Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré.
\(\Delta=b^2-4ac\) est appelé Discriminant du polynôme.
Fondamental : Propriété
Résolution de \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a \neq 0\) :
Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant. Le signe de \(\Delta\) permet de trouver les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a \neq 0\).
Si \(\Delta > 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) admet deux solutions :
\(x_1 =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Si \(\Delta = 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) admet une solution unique :
\(\alpha =\frac{-b}{2a}\)
Si \(\Delta < 0\) : l'équation \(ax^2+bx+c=0\) n'admet aucune solution.
Complément : Démonstration
Résoudre \(ax²+bx+c=0\) revient à résoudre \(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a²}\right]=0\) ce qui s'écrit aussi \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a²}=0\) et donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a²}\).
Si \(\Delta<0\), l'équation n'a pas de solution car un carré ne peut pas être négatif (\(-\frac{\Delta} {4a²}<0\).
Si \(\Delta=0\), \(-\frac{\Delta} {4a²}=0\) donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0\). Ainsi \(x+\frac{b}{2a})=0\) et \(x=-\frac{b}{2a}\)
Si \(\Delta>0\), \(\Delta\) est le carré de \(\sqrt{\Delta}\), et donc \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\sqrt{\Delta}^2}{4a²}=0\).
On peut alors utiliser la 3ème identité remarquable pour factoriser le membre de gauche :
\(\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right] \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\)
Par la règle du produit nul, on peut écrire que \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{4a²}=0\) ou que \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{4a²}=0\), donc :
Donc \(x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Les deux solutions de l'équation sont donc :
Ainsi, \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Remarque :
Lorsque les coefficients a et c sont de signes contraires, \(\Delta\) est forcément positif, donc le trinôme a deux racines.
Exemple :
Résoudre l'équation \(2x^2+7x-15=0\) :
\(\Delta=7^2-4\times 2\times (15)=169\)
\(\Delta > 0\) donc l'équation admet deux solutions :
\(x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\times 2}=\frac{-7-13}{4}=-5\)
\(x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\times 2}=\frac{-7+13}{4}=\frac{3}{2}\)
On a donc : \(S=\left\{ -5 ;\frac{3}{2} \right\}\).
Exemple :
Résoudre l'équation \(4x^2-4,8x+1,44=0\).
\(\Delta=(-4,8)^2-4\times 4\times 1,44=23,04-23,04=0\)
\(\Delta=0\), cette équation admet une solution unique : \(\alpha=-\frac{-4,8}{2\times 4}=0,6\).
On a donc \(S=\{0,6\}\).
Exemple :
Résoudre l'équation \(2x^2+x+1=0\).
\(\Delta=1^2-4\times 2\times 1=-7\)
\(\Delta < 0\) , cette équation n'admet donc aucune solution.
On a donc \(S=\emptyset\).
Définition :
Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré.
Les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) sont appelées racines du polynôme \(f\).
Dans le cas \(\Delta=0\), l'unique racine est appelée racine double.