Relation de Chasles
Fondamental : Relation de chasles
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a ;b]\) et \(c\in[a ;b]\).
Alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)~dx=\displaystyle \int_a^c f(x)~dx+\displaystyle \int_c^b f(x)~dx\)
Complément : Démonstration
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\), alors :
\(\displaystyle \int_a^c f(x)~dx+\int_c^b f(x)~dx=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)~dx\)
Exemple :
La courbe ci-contre représente la fonction f sur l'intervalle [-2 ;4] définie par :
\(f(x)=x\) si \(x\in[-2 ;1]\)
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) si \(x\in [1 ;4]\)
Montrer qu'elle est continue sur [-2 ;4] puis calculer \(\displaystyle \int_{-2}^4 f(x)~dx\)
La relation de Chasles permet d'écrire \(\displaystyle \int_{-2}^4 f(x)~dx=\int_{-2}^1 f(x)~dx+\int_{1}^4 f(x)~dx\).
Calculons \( \displaystyle \int_{-2}^1 x~dx\)
\(F_1(x)=\dfrac{x^2}{2}\) est une primitive de cette première fonction. On a :
\(F_1(-2)=\dfrac{(-2)^2}{2}=2\)
\(F_1(1)=\dfrac{1^2}{2}=0,5\)
donc \(\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)~dx=F_1(1)-F_1(-2)=-1,5\)
Calculons \( \displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{1}{x}~dx\).
\(F_2(x)=\ln x\) est une primitive de cette seconde fonction. On a :
\(F_2(1)=\ln 1=0\)
\(F_2(4)=\ln 4\)
donc \( \displaystyle \int_{1}^4 f(x)~dx=F_2(4)-F_2(1)=\ln 4\)
Par conséquent l'intégrale cherchée est la somme des deux intégrales que nous avons calculées.
\(\displaystyle \int_{-2}^4 f(x)~dx=\int_{-2}^1 f(x)~dx+\int_{1}^4 f(x)~dx=-1,5+\ln 4\)