Valeur moyenne
Définition :
Soit \(f\) une fonction définie, continue sur un intervalle \([a ;b]\).
Alors le nombre \(m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)~dx\) est appelé valeur moyenne de \(f\) sur l'intervalle \([a ;b]\).
Complément : Illustration graphique
Dans le cas où \(f\) est positive sur [a ;b], la valeur moyenne \(m\) de la fonction \(f\) est la hauteur du rectangle ABCD de base \((b-a)\) ayant la même aire que l'aire sous la courbe représentative de \(f\) entre a et b.
Exemple : Fonction constante
Soit \(f(x)=3\), déterminons la moyenne de \(f\) sur \([1 ;4]\)
\(m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_1^4 3~dx=\dfrac{1}{3}(3\times 4-3\times 1)\) car une primitive de \(f(x)=3\) est \(F(x)=3x\)
donc \(m=\dfrac{12-3}{3}=3\).
La valeur moyenne d'une fonction constante sur un intervalle est la constante elle-même.
Exemple : Fonction affine
Soit \(f(x)=3x-2\), déterminons la moyenne de \(f\) sur \([1 ;4]\)
\(m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_1^4 3x-2~dx\)
Une primitive de \(f(x)=3x-2\) est \(F(x)=\dfrac{3}{2}x^2-2x\)
\(F(1)=\dfrac{3}{2}1^2-2=-\dfrac{1}{2}\)
\(F(4)=\dfrac{3}{2}4^2-2\times 4=24-8=16\)
donc \(m=\dfrac{16,5}{3}=5,5\).
Or \(f(1)=1\) et \(f(4)=10\). 5,5 est la moyenne entre 1 et 10.
La valeur moyenne d'une fonction affine \(f\) sur un intervalle \([a ;b]\) est la moyenne de \(f(a)\) et \(f(b)\).