Exercice d'application
Le bénéfice en milliers d'euros d'une production de \(q\) kg de produit de beauté est donné par \(f(q)=-3q^2+6q-1,5\).
La production de l'entreprise varie selon les jours de 0 à 2 kg.
Question
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise.
Indice
On appliquera la formule donnant la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ;2]\).
Solution
\(m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle \int_0^2 f(q)~ dq\)
Déterminons une primitive de \(f\). C'est un polynôme. On sait donc d'après le cours que :
\(F(q)=-\dfrac{3}{3}q^3+\dfrac{6}{2}q^2-1,5q=-q^3+3q^2-1,5q\)
\(F(0)=0\)
\(F(2)=-8+3\times 4-3=1\)
donc \(m=\dfrac{1}{2-0}(F(2)-F(0)=\dfrac{1}{2}\).
La valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise est donc 500 euros.