Relation fonctionnelle
Nous allons démontrer la propriété fondamentale de la fonction exponentielle.
Question
Soit \(y\) un réel quelconque fixé au hasard.
On définit sur \(\mathbb R\) la fonction \(f : x\longmapsto \frac{\exp (x+y)}{\exp x}\)
Montrer que \(f(x)\) est constante et donner sa valeur.
Solution
Calculons \(f'\) :\( f'(x)=\frac{\exp ' (x+y)\exp (x)-\exp(x+y)\exp ' (x)}{(\exp (x))^2}\)
Or \(\exp'=\exp\) donc \(f'(x)=\frac{\exp (x+y)\exp (x)-\exp(x+y)\exp (x)}{(\exp (x))^2}=0\)
Donc \(f\) est constante. Cette constante est égale à \(f(0)=\exp(y)\).
Question
En déduire la relation fonctionnelle de l'exponentielle : \(\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y)\)
Solution
On a montré que pour tout nombres \(x\) et \(y\), \(\frac{\exp (x+y)}{\exp x}=\exp y\)
Par conséquent \(\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y)\)