ROC : Théorème de comparaison

Théorème

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites définies pour tout \(n\in \mathbb N\).

Si :

  • à partir d'un certain rang, \(u_n\geqslant v_n\),

  • \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty\),

alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty\).

Si :

  • à partir d'un certain rang, \(u_n\leqslant v_n\),

  • \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty\),

alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty\).

Question

Démonstration : ROC

Solution

Méthode**ROC** Démonstration à connaître

Nous allons prouver le premier point. Le second se démontre de manière tout à fait analogue.

Considérons un réel $A$ quelconque.

D'après la première hypothèse, il existe un rang \(n_1\) à partir duquel si \(n\geqslant n_1\), \(u_n\geqslant v_n\).

D'après la seconde hypothèse, on sait également qu'il existe un rang \(n_2\) à partir duquel si \(n\geqslant n_2\),  \(v_n>A\).

Posons \(n_0\) le plus grand des deux entiers \(n_1\) et \(n_2\). Alors si \(n\geqslant n_0\), \(n\geqslant n_1\) et \(n\geqslant n_2\), ce qui nous autorise à utiliser les deux inégalités que nous avons dégagée de nos hypothèses :

  • \(u_n \geqslant v_n\)

  • \(v_n>A\)

Donc à partir du rang \(n_0\), c'est-à-dire pour tout \(n>n_0\), \(u_n>A\) et ceci avec un nombre \(A\) arbitrairement choisi.

La suite \((u_n)\) tend donc vers \(+\infty\). cqfd.