Définition
Si on considère un vecteur \(\overrightarrow{AB}\), on peut calculer le vecteur \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\). Notons naturellement \(2\ \overrightarrow{AB}\) ce vecteur.
ses coordonnées sont :
\((x_B-x_A)+(x_B-x_A)=2(x_B-x_A)\)
\((y_B-y_A)+(y_B-y_A)=2(y_B-y_A)\)
Nous pouvons étendre cette propriété à un nombre réel quelconque.
Définition : Produit d'un vecteur par un scalaire
Soit λ un réel et \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right )\) un vecteur dans un repère.
Alors le produit de \(\overrightarrow{u}\) par le réel λ est le vecteur \(\lambda \overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}\lambda x\\\lambda y\end{array}\right )\).
Fondamental :
Si A et B sont deux points du plan, et λ un réel, on définit le point C que \(\overrightarrow{AC}=\lambda \ \overrightarrow{AB}\).
Le point C ainsi défini appartient à la droite (AB) (\(C\in(AB)\)).
Réciproquement, tout point de la droite (AB) correspond à un nombre réel vérifiant l'égalité vectorielle précédente.
Exemple : Cas particulier
Dire que \(I\) est le milieu de [AB] revient à dire que \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\) ou encore \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ou encore \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) \(\overrightarrow{AB}=2\ \overrightarrow{IB}\) ...
En effet d'après Chasles \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\).
Or \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) puisque \(I\) est le milieu de [AB].
donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}=2\ \overrightarrow{AI}\).