Vecteurs colinéaires
Définition :
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont dits colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel λ tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\) c'est à dire si \(\overrightarrow{u}\) est un "multiple" de \(\overrightarrow{v}\).
Par convention, on dira que le vecteur \(\overrightarrow{0}\) est colinéaire à tout vecteur.
Comme on l'a aperçu à la page précédente, la colinéarité des vecteurs se révèle être un outil très pratique pour démontrer en particulier des situations d'alignement de points. Cela est formalisé dans la propriété suivante :
Fondamental :
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Remarque :
La première affirmation est un cas particulier de la seconde lorsque les deux droites parallèles ont un point en commun.
Remarque :
Dans un repère (O ;\(\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\)), deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right )\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées forment un tableau de proportionnalité :
\(x\) | \(x'\) |
\(y\) | \(y'\) |
Donc :
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement \(x\times y'-y\times x'=0\) (en effet, les produits en croix sont égaux).