Application de la colinéarité
Dans un repère, on donne :
\(A(-\frac{7}{2} ;-\frac{1}{2})\)
\(B(\frac{1}{2} ;\frac{3}{2})\)
\(C(\frac{5}{2} ;\frac{5}{2})\)
Question
Démontrer que A,B et C sont alignés.
Indice
On pourra montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Solution
On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). On obtient :
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{AC} \left (\begin{array}{c}6\\3\end{array}\right )\).
Or \(6 =\frac{3}{2}\times 4\) et \(3 =\frac{3}{2}\times 2\)
donc \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\).
les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont donc colinéaires, ce qui signifie que les points A, B et C sont alignés.
Remarque : Règle du produit en croix
Le facteur de colinéarité λ n'est pas toujours très évident à percevoir. En écrivant les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) dans un tableau et en appliquant la règle du produit en croix pour déterminer si le tableau est un tableau de proportionnalité, on peut ainsi déterminer si les vecteurs sont colinéaires.
\(\overrightarrow{AB}\) | \(\overrightarrow{AC}\) |
|---|---|
4 | 6 |
2 | 3 |
\(4\times 3=2\times 6\). Les colonnes du tableau sont proportionnelles. Les vecteurs sont colinéaires.