Problème d'application

Pierre à souscrit auprès d'un opérateur téléphonique un abonnement 3G dont il ne se rappelle plus les conditions tarifaires. Il sait cependant que :

  • Il paye tous les mois un forfait fixe plus un certain prix par mégaoctet consommé.

  • Sur deux factures, il a les indications suivantes :

    • 50 Mo consommés. Montant à régler : 10€

    • 280 Mo consommés. Montant à régler : 33€

Question

Quel est le prix de l'abonnement mensuel de Pierre ? A combien le mégaoctet est-il facturé par son opérateur ?

Indice

On pourra introduire une fonction affine \(f(x)=ax+b\) donnant le prix à payer pour \(x\) mégaoctets.

Indice

Que désignent ici a et b par rapport aux données du problème ?

Solution

On pose \(f(x)=ax+b\) où \(x\) est le nombre de mégaoctets consommés et :

  • b est le prix en € de l'abonnement mensuel

  • a est le prix en € du mégaoctet

Le problème peut se synthétiser au moyen du tableau suivant

x

50

280

\(f(x)=ax+b\)

10

33

On sait que \(a\) peut s'obtenir par la formule \(a=\frac{33-10}{280-50}=\frac{23}{230}=0,1\).

En injectant une des valeurs dans l'expression générale de f, on en déduit b :

\((E) : f(50)=a\times 50+b\)

\((E) : 10=0,1\times 50+b\)

\((E) : 10=5+b\)

\((E) : b=5\)

donc \(f(x)=0,1x+5\)

En conclusion l'abonnement de Pierre est de 5€ par mois. Il paye ensuite 10 centimes par mégaoctet consommé.

Remarque

On aurait pu trouver les valeurs de a et b en résolvant le système suivant :

\(\left\{\begin{matrix}f(50)=10 \\f(280)=33\end{matrix}\right.\) donc \(\left\{\begin{matrix}a\times50+b=10 \\a\times280+b=33\end{matrix}\right.\).